Phương trình lượng giác có điều kiện

1. Giới thiệu

Đối với các phương trình lượng giác có điều kiện, việc đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình có lẽ gây cho chúng ta nhiều khó khăn, nhầm lẫn. Vậy có cách nào để giúp ta giảm thiểu sai sót khi giải phương trình lượng giác có điều kiện? Thật đơn giản, chỉ cần ta biết cách biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác thì ta sẽ có hình ảnh trực quan về các điểm biểu diễn cho điều kiện và các điểm biểu diễn cho nghiệm. Từ đó ta dễ dàng chọn được nghiệm đúng của phương trình.

 2. Biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác



 Điểm M biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k2\pi$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k2\pi$ sẽ được biểu diễn chỉ bởi 1 điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có số đo bằng $\alpha$.



Hai điểm $M_1, M_2$ chia đường tròn lượng giác thành 2 phần bằng nhau. Khi đó 2 điểm $M_1, M_2$ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k\pi$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k\pi$ sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác và cung AM có số đo bằng $\alpha$.



Ba điểm $M_1, M_2,M_3$ chia đường tròn lượng giác thành 3 phần bằng nhau. Khi đó 3 điểm $M_1, M_2, M_3$ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k\frac{2\pi}{3}$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k\frac{2\pi}{3}$ sẽ được biểu diễn bởi 3 điểm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác và cung AM có số đo bằng $\alpha$.



Tóm lại, nếu $n$ điểm $M_1, M_2, ..., M_n$ chia đường tròn lượng giác thành $n$ phần bằng nhau và cung AM có số đo bằng $\alpha$ thì khi đó $n$ điểm $M_1, M_2, ..., M_n$ sẽ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha+k\frac{2\pi}{n}$.

3. Ứng dụng

Ví dụ. Giải phương trình$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\sqrt{3}.\qquad\qquad (1)$$

Lời giải
Điều kiện $\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x\neq 0\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\ x\neq \frac{2\pi}{3}+k2\pi\qquad, k\in\mathbb{Z}.\\ x\neq -\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{cases}$

Khi đó phương trình $(1)$ tương đương với
$$ \tan 2x =\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}. $$
+ Biểu diễn điều kiện trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu chéo.

Góc $\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm $N_1, N_2, N_3, N_4.$


Góc $\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm $N_5.$

Góc $\displaystyle -\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm $N_6.$

+ Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu tròn.

Góc $\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm $M_1, M_2, M_3, M_4.$

Đối chiếu với điều kiện bằng hình vẽ, ta có nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi các điểm $M_1, M_3, M_4$.  Do $M_1, M_3$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau nên 2 điểm này biểu diễn cho góc $ x=\frac{\pi}{6}+k\pi$. Còn lại, điểm $M_4$ biểu diễn cho góc $ x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$. Vậy nghiệm của phương trình $(1)$ là $$x=\frac{\pi}{6}+k\pi; x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z}).$$
Nếu không nhận thấy 2 điểm $M_1, M_3$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau  thì ta cũng có thể kết luận nghiệm của phương trình $(1)$  là $$ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi; x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi; x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z}).$$

Bài tập. Giải các phương trình sau

1) $\displaystyle 2\sin x+\cot x=2\sin 2x + 1,$

2) $\displaystyle \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\cot^2x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x,$    (Đề thi đại học khối A năm 2011)

3) $\displaystyle \frac{\sin 2x+2\cos x-\sin x-1}{\tan x+\sqrt{3}}=0,$   (Đề thi đại học khối D năm 2011)

4) $\displaystyle \frac{(1+\sin x+\cos 2x)\sin (x+\frac{\pi}{4})}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x,$    (Đề thi đại học khối A năm 2010)

5) $\displaystyle \frac{(1-2\sin x)\cos x}{(1+2\sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3},$    (Đề thi đại học khối A năm 2009)

6) $\displaystyle \frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin (x-\frac{3\pi}{2})}=4\sin (\frac{7\pi}{4}-x), $     (Đề thi đại học khối A năm 2008)

7) $\displaystyle \frac{2(\cos^6x+\sin^6x)-\sin x\cos x}{\sqrt{2}-2\sin x}=0,$     (Đề thi đại học khối A năm 2006)

Tài liệu tham khảo:
1) Phan Tuấn Cộng (2010), "Kỹ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện,"   Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục.

2) Đề thi đại học các năm qua.